جواب کاردرکلاس صفحه31 ریاضی یازدهم

فرض می‌کنیم تمام مخرج‌ها ($b, d, a, c, a+b, c+d$) مخالف صفر باشند. اصل اساسی برای اثبات، ضرب طرفین تساوی در یک عدد یا تقسیم بر یک عدد مخالف صفر است. ## الف) اثبات قاعدهٔ طرفین وسطین $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ طرفین تساوی را در حاصل ضرب مخرج‌ها ($bd$) ضرب می‌کنیم: $$bd \left( \frac{a}{b} \right) = bd \left( \frac{c}{d} \right)$$ $$\Rightarrow ad = bc$$ ## ب) اثبات تبدیل حاصل ضرب به تناسب $$ad = bc$$ طرفین تساوی را بر $bd$ تقسیم می‌کنیم (چون $b \neq 0$ و $d \neq 0$، پس $bd \neq 0$): $$\frac{ad}{bd} = \frac{bc}{bd}$$ $$\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ ## پ) اثبات معکوس کردن تناسب $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ طرفین را معکوس می‌کنیم (چون $a \neq 0$ و $c \neq 0$ فرض نشده، باید فرض کنیم $a, c \neq 0$): $$\left( \frac{a}{b} \right)^{-1} = \left( \frac{c}{d} \right)^{-1}$$ $$\Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}$$ ## ت) اثبات تعویض جای طرفین با وسطین $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ از قاعدهٔ طرفین وسطین نتیجه می‌گیریم: $$ad = bc$$ طرفین تساوی $ad = bc$ را بر $cd$ تقسیم می‌کنیم (چون $c \neq 0$ و $d \neq 0$): $$\frac{ad}{cd} = \frac{bc}{cd}$$ $$\Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$$ (اثبات $\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$ نیز مشابه است، با تقسیم بر $ab$) ## ث) اثبات ترکیب نسبت در صورت با مخرج $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ به هر دو طرف تساوی عدد $1$ را اضافه می‌کنیم: $$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$$ $$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$$ $$\Rightarrow \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$$ برای اثبات حالت دوم ($\frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d}$)، ابتدا حالت اول را معکوس می‌کنیم (با فرض $a+b \neq 0$ و $c+d \neq 0$): $$\frac{b}{a + b} = \frac{d}{c + d}$$ سپس دو طرف را از عدد $1$ کم کرده و علامت منفی را حذف می‌کنیم: $$1 - \frac{b}{a + b} = 1 - \frac{d}{c + d}$$ $$\frac{(a + b) - b}{a + b} = \frac{(c + d) - d}{c + d}$$ $$\Rightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d}$$

این تمرینات بر اساس خواص تناسب (طرفین وسطین، تبدیل حاصل ضرب، معکوس کردن، تعویض وسطین و ترکیب) که در قسمت (۱) اثبات شده‌اند، تکمیل می‌شوند. ## الف) طرفین وسطین $$\frac{5}{14} = \frac{5x}{42} \Rightarrow 5 \times 42 = 14 \times 5x$$ $$210 = 70x \Rightarrow x = \frac{210}{70} \Rightarrow 15x = \mathbf{45}$$ (توجه: در متن سوال عبارت $15x = \dots$ آورده شده که با محاسبات $x=3$ نتیجه می‌دهد. اما عبارت میانی $5 \times 42 = 14 \times 5x$ و عبارت آخر $15x = \dots$ به نظر می‌رسد حاوی خطای چاپی باشند. پاسخ بر اساس $x=3$ که از تساوی اصلی به دست می‌آید، داده شده است). ## ب) تبدیل حاصل ضرب به تناسب $$3 \times 40 = 12 \times 10$$ با تقسیم بر $12 \times 40$، تناسب به دست می‌آید: $$\frac{3}{12} = \frac{\mathbf{10}}{\mathbf{40}}$$ (همچنین می‌توانست $\frac{3}{10} = \frac{12}{40}$ باشد). ## پ) معکوس کردن تناسب $$\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$$ با معکوس کردن طرفین: $$\frac{10}{7} = \frac{\mathbf{30}}{\mathbf{21}}$$ ## ت) تعویض جای طرفین با وسطین $$\frac{6}{18} = \frac{11}{33}$$ * تعویض جای $18$ و $11$: $$\frac{6}{11} = \frac{\mathbf{18}}{\mathbf{33}}$$ * تعویض جای $6$ و $33$ (و معکوس کردن): $$\frac{33}{11} = \frac{\mathbf{18}}{\mathbf{6}}$$ ## ث) تعویض جای طرفین با وسطین $$\frac{4}{14} = \frac{10}{35}$$ * تعویض جای $14$ و $10$: $$\frac{4}{10} = \frac{\mathbf{14}}{\mathbf{35}}$$ * **ترکیب نسبت در مخرج با صورت**: اگر تناسب $\frac{4}{14} = \frac{10}{35}$ را با $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ در نظر بگیریم، مجموع مخرج و صورت در سمت چپ: $4 + 14 = 18$ است. تناسب مورد نظر در واقع $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ نیست، بلکه تعویض جای $4$ و $14$ در یک نسبت دیگر به نام $\frac{4}{18}$ است. با استفاده از $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}$: $$\frac{4}{14} = \frac{10}{35} = \frac{4 + 10}{14 + 35} = \frac{14}{49}$$ در عبارت $\frac{4}{18} = \dots$: این عبارت با $\frac{4}{14}$ برابر نیست، اما اگر $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ باشد، آنگاه $\frac{a}{b} = \frac{a \pm c}{b \pm d}$ نیز برقرار است. با توجه به متن فارسی 'ترکیب نسبت در صورت با مخرج' که به صورت $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ آمده بود، تناسب $\frac{4}{18}$ باید از $\frac{4}{14}$ به دست آمده باشد. این قسمت از لحاظ ریاضی برای تناسب $\frac{4}{14} = \frac{10}{35}$ نامعتبر است مگر اینکه هدف **ترکیب به روش دیگر** باشد. اگر هدف $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ باشد: $$\frac{4}{4 + 14} = \frac{10}{10 + 35} \Rightarrow \frac{4}{18} = \frac{10}{45}$$ $$\frac{4}{18} = \frac{\mathbf{10}}{\mathbf{45}}$$ ## ج) ترکیب و تعویض $$\frac{5}{12} = \frac{10}{24} = \frac{-7}{-14}$$ با استفاده از خاصیت $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (تعویض وسطین): $$\frac{5}{12} = \frac{-7}{-14} \Rightarrow \frac{5}{-7} = \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{-14}}$$ با استفاده از خاصیت $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \Rightarrow \frac{a \pm c \pm e}{b \pm d \pm f}$ (ترکیب صورت و مخرج): $$\frac{5}{-7} \quad (\text{صورت و مخرج کسر اول و سوم})$$ $$\frac{5}{12} = \frac{10}{24} = \frac{-7}{-14} = \frac{5 + 10}{12 + 24} = \frac{15}{36}$$ در عبارت $\frac{5}{-7}$ دوم، می‌توان از ترکیب صورت و مخرج استفاده کرد: $$\frac{5}{-7} = \frac{\mathbf{10}}{\mathbf{24}}$$ (این حالت از تعویض جای $12$ و $10$ در تناسب $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$ به دست می‌آید که اشتباه است. باید $\frac{5}{10} = \frac{12}{24}$ باشد). با فرض اینکه هدف مقایسه با کسر سوم $(-7)/(-14)$ بوده است: $$\frac{5}{12} = \frac{-7}{-14} \Rightarrow \frac{5}{-7} = \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{-14}}$$ $$\frac{10}{24} = \frac{-7}{-14} \Rightarrow \frac{10}{-7} = \frac{24}{-14} \Rightarrow \frac{5}{-7} = \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{-14}}$$ (با توجه به تکرار و اشکالات متنی در سوال، پاسخ منطقی‌ترین حالت ممکن (تعویض وسطین بین کسر اول و سوم) ارائه شده است.)